Numerical Analysis - 2006.3.6

. Parametric Curves - Big area in computer Graphics
  . Explicit function : y = f(x)
  . Inplicit function : Parametric curve
   x = f(t), y = g(t)
   ex) Circle , polar coordinate
   기존에 했던 interpolation 방법을 x(t), y(t)에 각각하기만 하면 된다.

. Interpolation Usage
  1. N-small : Lagrange
  2. N-small, derivative known : Hermite (More accurate than )
  3. N-large : Cubic spline
  각 area에 suitable method를 develop해서 쓰면 된다.

. Numerical Differentiation
  . Taylor series에 따라 f(x+h), f(x-h) 등을 expand한다.
  . f'(x) = (f(x+h) - f(x))/h     (forward formula, 1st order)
  . f'(x) = (f(x) - f(x-h))/h     (backward formula, 1st order)
  . f'(x) = (f(x+h) - f(x-h))/2h  (Central formula, 2nd order)
  . f''(x) = (f(x+h) - 2f(x) + f(x-h))/h^2  (Centered, 2nd order)

. Error
  . Truncation error : continous -> discrete로 바꾸면서 생김
   (Taylor series expansion에 의해 생김)
   h를 줄이면 에러가 작아짐

  . Round off error : 컴퓨터의 floating point의 자릿수 한계에 따라 생김
   h를 줄이면 iteration수가 많아져서 에러가 커짐

  . 두 error는 trade off 관계에 있다.

. How to get more accuracy?
  . Use higher order formulas
  . Reduce h

. Richardson's Extrapolation
  . Low order folrmulas에서 high order accuracy를 얻기
  . 2의 n제곱의 배수에 해당하는 구간들의 관계를 이용하여 error를 더 적게 만든다.