[Math]Morphism

. homomorphism
  . pi : X->Y
  . pi(u*v) = pi(u)+pi(v)
  . * : operation on X
  . + : operation on Y

. Morphism
  . two mathematical structure간의 structure-preseving process.
  . set theory에서는 functions
  . group theory에서는 group homomorphisms
  . topology에서는 continuous functions
  . universal algebra에서는 homomorphisms
  . category theory에서는 domain와 codomain의 relationship
  . identity morphism이 있어서 그것과 composite해도 자기 자신이 나온다.
  . associativity가 있어야 한다.
  x*(y*z) = (x*y)*z

. one-to-one(injective)
  일대일
  x의 모든 원소가 y에 대응됨.

. onto(surjective)
  y의 모든 원소가 x에 대응됨.

. bijective : injective and surjective
  일대일대응

. monomorphism
  . f*g1 = f*g2이면 g1 = g2 일 때, f는 monomorphism이다.
  . f : X->Y
  . g1, g2 : Z->X
  . f*g1, f*g2 : Z->Y
  . injective homomorphism

. split monomorphism
  . left-inverse를 가지는 monomorphism

. epimorphism
  . http://en.wikipedia.org/wiki/Epimorphism
  . g1*f = g2*f이면 g1 = g2 일 때, f는 epimorphism이다.
  . f : X->Y
  . g1, g2 : Y->Z
  . g1*f, g2*f : X->Z
  . right-cancellable
  . surjective homomorphism
  . monomorphism와 dual 관계

. bimorphism
  . epimorphism and monomorphism

. isomorphism
  . bijective homomorphism
  . morphism : f : X->Y 일때
  f*g = idY and g*f = idx인 g:Y->X가 존재한다.
  . morphism has both left-inverse and right-inverse, then
  left-inverse and right-inverse are equal.
  . http://en.wikipedia.org/wiki/Isomorphic
  . bijective(one-to-one and onto) map, f and f^-1이 homomorphism하다.
  . 두 structure가 isomorphic하면 structurally identical하다고 할 수 있다.
  . 한 structure에서 theorem이 증명되었으면
  새로운 structure와 isomorphism이라는 것만 증명하면
  그것들을 그대로 옮겨와서 사용할 수 있다.
  . 모든 isomorphism은 bimorphism이다. (역은 아님)

. endomorphism
  . http://en.wikipedia.org/wiki/Endomorphism
  . f:X -> X인 f를 endomorphism of X라고 함.

. automorphism
  . http://en.wikipedia.org/wiki/Automorphism
  . endomorphism and isomorphism
  . closure : 2개의 endomorphism의 composite는 또 다른 endomorphism이 됨.
  . associativity : morphism은 정의상 항상 associative하다.
  . identity : morphism은 정의상 항상 identity를 가진다.
  . inverses : 정의상 inverses를 가진다.

. antihomomorphism
  . http://en.wikipedia.org/wiki/Antiautomorphism
  . pi : X->Y
  . pi(xy) = pi(y)pi(x)
  . 곱셈의 순서를 reverse함.

. diffeomorphism
  . f:M->N이 bijective map이고
  f:M->N, f^-1:N->M 이 모두 dirrentiable할 때

. Polymorphism
  . http://en.wikipedia.org/wiki/Polymorphism_%28computer_science%29
  . single definision이 different types of data에 사용될 수 있을 때
  . ML에서 사용됨.

. holomorphism
  . http://en.wikipedia.org/wiki/Holomorphism
  . open subset of the complex number plane C 정의된 모든 값이
  differentiable할 때.
  . U : open subsete of C
  . f : U -> C, complex diffentiable at z0
  . f'(z0) = lim z->z0, (f(z)-f(z0))/(z-z0)

. isometry
  . isometric isomorphism
  . congruence mapping
  . disstance-preserving isomorphism
  . f : X->Y
  . X, Y be metric space with dx, dy
  . dy(f(x), f(y)) = dx(x, y)

. global isometry
  . bijective distance preserving map

. path isometry
  . arcwise isometry
  . preserve the lengths of curves

. idempotence
  . http://en.wikipedia.org/wiki/Idempotent
  . binary operation일때, 자기 자신을 연산하면 자신이 나옴.
   ex) binary number system의 multiplication
  . unary operation일때, 자기 자신에게 두번 연산을 apply하면 한번 연산했을 때와 같은 결과가 나옴.
   ex) min, max