[Numerical Analysis] Ch.5

. Differential Egns
  . Ordinary Differential Equation(ODE)
  . http://en.wikipedia.org/wiki/ODE
  . http://en.wikipedia.org/wiki/Numerical_ordinary_differential_equations
   . A ODE is an equation containing a dependent function y(t) and its derivatives and possibly the independent variable t

. First order equation : F(y, y', t) = 0
. Second order equation : F(y, y', y'', t) = 0
. Linear : y', y''의 계수가 상수
. Nonlinear : y, y''의 계수가 변수
. Analytical하게는 linear, nonlinear가 중요하지만
  Numerical하게는 linear, nonlinear가 계산하는 데 별 차이가 없다.

. Initial Coditions
  . These are conditions that y must satisfy at a given point usually t = 0

. 3-body problem
  . http://en.wikipedia.org/wiki/3-body_problem
  . We can't solve it.
  . ex) solar system
  . 가장 좋은 방법을 써도 2억년 전 과거의 행성의 위치를 알기 어렵다.

. Initial Value Problem(IVP)
  . http://en.wikipedia.org/wiki/Initial_value_problem
  . t가 특정한 점에서 y, y' 값 등이 모두 주어진다.

. Boundary Value Problem(BVP)
  . http://en.wikipedia.org/wiki/Boundary_value_problem
  . y(t0), y(t1)의 t0, t1 boundary에서 값이 주어진다.

. Analytical하게는 IVP, BVP가 별 차이가 없지만
  Numerical하게는 계산하는 방식에 차이가 있다.

. 풀기
. y' = A
  y = Ax + B
  단순히 적분만 하면 된다.

. y'' = A
  y = Ax^2 + Bx +C
  단순히 적분만 2번 하면 된다.

. Linear 2nd order Eans
  g(x)y'' + f(x)y' + h(x)y = 0
  with constant coefficients
  y'' + by' + cy = 0
  a, b : given constants

  y = e^(alpha*t)로 놓고 푼다.
  y' = alpha * e^(alpha*t)
  y'' = alpha^2 * e^(alpha*t)

  e^(alpha*t)(alpha^2+a*alpha+b) = 0
  alpha = 1/2*(-a+-sqrt(a^2-4b)) = alpha1, alpha2 (근의 공식)
  http://en.wikipedia.org/wiki/Quadratic_equation

. Three Cases
  . 근이 두 실근일 때(distint real)
   a^2 - 4b > 0
   y = A*e^alpha1*t + B*e^alpha2*t

  . 근이 허근일 때(imaginary)
   a^2 - 4b < 0
   a^2 - 4b = -beta^2
   y = e^(-1/2*a*t) * (A*e^(1/2*beta*i*t) + A*e^(-1/2*beta*i*t))
   e^(i*theta) = cos(theta) + i*sin(theta)
   y = e^(-1/2*a*t) * (C1*cos(1/2*beta*t) + C2*sin(1/2*beta*t))

  . 근이 중근일 때(multiple)
   a^2 - 4b = 0
   y = A*e^alpha1*t + B*t*e^alpha2*t