볼펜만 손에 들려주면 자꾸 분해하려고 해서..
결국 이번에서 볼펜에 들어있는 spring을 잃어버렸다.
스프링이 없어도 대충 쓸 수는 있지만 매우 짜증나서
결국 볼펜도 버렸다.(wasted)
회사에 많으니까 저기 사물함 가서 하나 새로 가져오긴 했는 데.
이건 또 며칠이나 갈까...
사실 요즘 볼펜은 워낙 잘 만들어져서 일반적인 유저들이 써서는
다 닳을 때까지 쓰기도 어렵다.
(중학교 때 정말 필기 많이 할 때는 매일매일 줄어드는 잉크 양을 보고 신기해 했는 데
오늘은 이만큼이나 썼군.. 호호 하면서.. 하루 6시간씩 필기만해도 보름 넘게 간다.)
고등학생처럼 정말 많이 써야 잉크 떨어질 때까지 쓸 수 있고
그렇지 않으면 잃어버리는 게 대부분..
하지만 나같은 하드코어 유저들은 어떻게든 부숴서 없앤다.
볼이 깨지거나 스프링이 늘어지거나 펜이 crack이 생기게 만든다.
책상에 내리치고 풀었다 조립했다 반복하고 손가락으로 눌러서 빠테루 자세를 유지시키기도 한다.
2004년 2월 2일 월요일
Apache + PHP + xdebug
http://xdebug.org
Xdebug를 이용하면 PHP Profiling을 할 수도 있고
debug client을 이용하면 gdb처럼 interactive한 작업도 된다.
(단 web browser가 timeout 나기 전에 모든 일을 해치워야한다.)
------------------------------------
cd /home/ilashman/local/src/
rm -rf apache_1.3.29
rm -rf php-4.3.3
tar xzvf apache_1.3.29.tar.gz
tar xzvf php-4.3.3.tar.gz
cd apache_1.3.29
./configure
cd ../php-4.3.3
./configure --prefix=/home/ilashman/local/php-4.3.3 --with-apache=../apache_1.3.29
make -j 4
make install
cd ../apache_1.3.29
./configure --prefix=/home/ilashman/local/apache_1.3.29 --activate-module=src/modules/php4/libphp4.a
make -j 4
make install
cd /home/ilashman/local/src/xdebug-1.3.0
/home/ilashman/local/php-4.3.3/bin/phpize
./configure --enable-xdebug --with-php-config=/home/ilashman/local/php-4.3.3/bin/php-config
make
/home/ilashman/local/php-4.3.3/lib
vi php.ini
-----------
zend_extension="/home/ilashman/local/src/xdebug-1.3.0/modules/xdebug.so"
-----------
cd /home/ilashman/local/apache_1.3.29/bin/
./apachectl start
------------
http://ecoli.neowiz.com:8080/~ilashman/test.php
------------
xdebug
xdebug support enabled
Version 1.3.1dev
Stacktraces support enabled
Function nesting protection support enabled
Directive Local Value Master Value
xdebug.auto_profile Off Off
xdebug.auto_profile_mode 0 0
xdebug.auto_trace Off Off
xdebug.collect_params Off Off
xdebug.default_enable On On
xdebug.dump.COOKIE no value no value
xdebug.dump.ENV no value no value
xdebug.dump.FILES no value no value
xdebug.dump.GET no value no value
xdebug.dump.POST no value no value
xdebug.dump.REQUEST no value no value
xdebug.dump.SERVER no value no value
xdebug.dump.SESSION no value no value
xdebug.dump_once On On
xdebug.dump_undefined Off Off
xdebug.manual_url http://www.php.net http://www.php.net
xdebug.max_nesting_level 64 64
xdebug.output_dir /tmp /tmp
xdebug.remote_enable Off Off
xdebug.remote_handler gdb gdb
xdebug.remote_host localhost localhost
xdebug.remote_mode req req
xdebug.remote_port 17869 17869
----------------
Xdebug를 이용하면 PHP Profiling을 할 수도 있고
debug client을 이용하면 gdb처럼 interactive한 작업도 된다.
(단 web browser가 timeout 나기 전에 모든 일을 해치워야한다.)
------------------------------------
cd /home/ilashman/local/src/
rm -rf apache_1.3.29
rm -rf php-4.3.3
tar xzvf apache_1.3.29.tar.gz
tar xzvf php-4.3.3.tar.gz
cd apache_1.3.29
./configure
cd ../php-4.3.3
./configure --prefix=/home/ilashman/local/php-4.3.3 --with-apache=../apache_1.3.29
make -j 4
make install
cd ../apache_1.3.29
./configure --prefix=/home/ilashman/local/apache_1.3.29 --activate-module=src/modules/php4/libphp4.a
make -j 4
make install
cd /home/ilashman/local/src/xdebug-1.3.0
/home/ilashman/local/php-4.3.3/bin/phpize
./configure --enable-xdebug --with-php-config=/home/ilashman/local/php-4.3.3/bin/php-config
make
/home/ilashman/local/php-4.3.3/lib
vi php.ini
-----------
zend_extension="/home/ilashman/local/src/xdebug-1.3.0/modules/xdebug.so"
-----------
cd /home/ilashman/local/apache_1.3.29/bin/
./apachectl start
------------
http://ecoli.neowiz.com:8080/~ilashman/test.php
------------
xdebug
xdebug support enabled
Version 1.3.1dev
Stacktraces support enabled
Function nesting protection support enabled
Directive Local Value Master Value
xdebug.auto_profile Off Off
xdebug.auto_profile_mode 0 0
xdebug.auto_trace Off Off
xdebug.collect_params Off Off
xdebug.default_enable On On
xdebug.dump.COOKIE no value no value
xdebug.dump.ENV no value no value
xdebug.dump.FILES no value no value
xdebug.dump.GET no value no value
xdebug.dump.POST no value no value
xdebug.dump.REQUEST no value no value
xdebug.dump.SERVER no value no value
xdebug.dump.SESSION no value no value
xdebug.dump_once On On
xdebug.dump_undefined Off Off
xdebug.manual_url http://www.php.net http://www.php.net
xdebug.max_nesting_level 64 64
xdebug.output_dir /tmp /tmp
xdebug.remote_enable Off Off
xdebug.remote_handler gdb gdb
xdebug.remote_host localhost localhost
xdebug.remote_mode req req
xdebug.remote_port 17869 17869
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2004년 2월 1일 일요일
A secret of My room
한 달 쯤 전에 옆 집으로 이사를 왔다.
202호는 물이 새니까 204호로 이사를 왔는 데.
상당히 재미있는 경험이 되었다.
크기나 모양 모든 것이 다 똑같은 데. 좌우가 대칭은 두 집은 참으로 신기하다.
생각해보라. 어느날 아침 일어났는 데. 모든 것의 좌우가 바뀌었다면?
사실은 모두 좌우가 바뀐 건 아니다.
오른쪽에 달렸던 문이 왼쪽으로 옮겨간 건 사실이지만 열리는 방향은 여전히 같으니까.
아무튼 싱크대, 화장실, TV, 냉장고 모두 같은 배치로 그대로 이사했는 데.
좌우는 대칭.
뭐 이것도 상당히 재미있는 사실이지만
진짜 내 방의 비밀은 다른 곳에 있다.
이 방은 예전에 조폭이 살았던 것으로 알려져 있는 데.
(우리가 이 옆 집에서 살 때 이 집은 조폭이 살았었다.)
뭔가 영화 '캐리비언의 해적'처럼 지저분하고 음모로 가득하고 애꾸눈의 거인들이
살았을 법 하지 않은가?
이사 왔는 때는 완전히 깨끗했다. (clean)
2층이고 다세대 주택이라 바닥을 파거나 벽을 열어서 시체를 묻었을 리도 없고 말이다.
아무튼 놀라운 일은 저녁에 잠을 자기 위해 불을 껐을 때 일어났다.
(Astonishing)
방안 가득히 반짝이는 별들의 물결이었다.
서울 하늘에서는 좀처럼 보기 힘든 별들이 왠 햇빛도 잘 안들어오는 방안으로 쏟아져 들어 온 걸까?
전에 살던 사람들이 하얗고 야광인 별 스티커 들을 천정을 포함한 오방(Five direction)에 붙여 놨던 것
이다.
벽지가 하얀색이라 불을 켜면 벽지 색깔과 전혀 구별이 안되는 데.
불을 끄면 별나라로 변신..
정말 이걸 조폭들이 만들어 둔 걸까?
꽤나 피터팬 같은 발상이라는 생각이 들어 참 놀랐다.
이건 정말로 자고 있으면 창 밖에서 피터팬이 노크해서 문 열어달라고 할 분위기다.
202호는 물이 새니까 204호로 이사를 왔는 데.
상당히 재미있는 경험이 되었다.
크기나 모양 모든 것이 다 똑같은 데. 좌우가 대칭은 두 집은 참으로 신기하다.
생각해보라. 어느날 아침 일어났는 데. 모든 것의 좌우가 바뀌었다면?
사실은 모두 좌우가 바뀐 건 아니다.
오른쪽에 달렸던 문이 왼쪽으로 옮겨간 건 사실이지만 열리는 방향은 여전히 같으니까.
아무튼 싱크대, 화장실, TV, 냉장고 모두 같은 배치로 그대로 이사했는 데.
좌우는 대칭.
뭐 이것도 상당히 재미있는 사실이지만
진짜 내 방의 비밀은 다른 곳에 있다.
이 방은 예전에 조폭이 살았던 것으로 알려져 있는 데.
(우리가 이 옆 집에서 살 때 이 집은 조폭이 살았었다.)
뭔가 영화 '캐리비언의 해적'처럼 지저분하고 음모로 가득하고 애꾸눈의 거인들이
살았을 법 하지 않은가?
이사 왔는 때는 완전히 깨끗했다. (clean)
2층이고 다세대 주택이라 바닥을 파거나 벽을 열어서 시체를 묻었을 리도 없고 말이다.
아무튼 놀라운 일은 저녁에 잠을 자기 위해 불을 껐을 때 일어났다.
(Astonishing)
방안 가득히 반짝이는 별들의 물결이었다.
서울 하늘에서는 좀처럼 보기 힘든 별들이 왠 햇빛도 잘 안들어오는 방안으로 쏟아져 들어 온 걸까?
전에 살던 사람들이 하얗고 야광인 별 스티커 들을 천정을 포함한 오방(Five direction)에 붙여 놨던 것
이다.
벽지가 하얀색이라 불을 켜면 벽지 색깔과 전혀 구별이 안되는 데.
불을 끄면 별나라로 변신..
정말 이걸 조폭들이 만들어 둔 걸까?
꽤나 피터팬 같은 발상이라는 생각이 들어 참 놀랐다.
이건 정말로 자고 있으면 창 밖에서 피터팬이 노크해서 문 열어달라고 할 분위기다.
서점(In a book store)
주말에 심심하면 집에 들어오는 길에 잠깐씩 서점에 들리곤 한다.
매우 소심한 소비자라서 절대 책을 사지는 않고 단지 휙~하니 둘러보기만 할 뿐이다.
처음에는 책도 안 사면서 들어간다는 것 자체가 어색했는 데.
요즘은 점점 익숙해지고 있다. 나보다 더 철면피들은 바닥에 앉아서 책 한권 다 보는 데.
그깟 책 제목 몇 개 구경하는 게 뭐 대수겠나
모든 코너를 휘젓고 다니면서 산책을 한다.
주마간산식이라서 책 제목도 별로 들어오지도 않는 다.
그래도 가장 오래 머무르는 곳은 역시 영어 원서 코너.
내 영어가 얼마나 되는 지 보려고 가기도 하는 데.
이런 생각이 들었다.
"저 제목들이 한글 제목만큼 쉽게 눈에 들어올 때 쯤이면 많이 실력이 늘었다고 할 수 있겠군."
지금은 아주 자세히 보기 전에는 한글자도 안들어 온다.
가끔 가서 책장 왼쪽 위에 있는 책부터 오른쪽 아래에 있는 책까지 제목을 읽어주면서 training해야겠다.
음악/예술 부문 책장 앞에서는 이런 생각을 했다.
서양음악사에 관한 곳이 눈에 들어왔는 데
역시 작곡가의 위대함은 그 사람의 제목이 붙은 책의 두께가 말해주는 것 같았다.
한 질의 서양음악사 set에서 모차르트는 무려 3권을 차지했고 그 다음은 Bach
그리고 나머지들..
약간 덜 위대한(?) 러시아 음악가들은 모두 뭉쳐서 "러시아 음악가들"로 그냥 한 권.
물론 러시아 음악가들 중에서도 유명한 사람들은 한 권씩..
E-book이라면 쉽게 느낄 수 없는 것들을 많이 느낄 수 있다.
e-book은 책의 두께가 visual하고 volume감 있게 느껴지지 않으니까 말이다.
다시 영어 원서 코너로 돌아가서
책 제목들을 유심히 바라보던 중 정말 웃기는 속편들을 발견했다.
"내(My) 영혼을 위한 닭고기 수프"의 속편들인데.
"어머니의(Mother's) 영혼을 위한 닭고기 수프",
"10대의(Teen's) 영혼을 위한 닭고기 수프",
"꼬마들의(Preteen's) 영혼을 위한 닭고기 수프",
역시 잘 판린 책이라 속편들이 참 많이도 나왔다.
출판업계의 상술을 그대로 엿볼 수 있다.
약간 세분화하고 전문화해서 또 팔아먹겠다는 생각이다.
Writing의 재활용은 프로그래머만의 몫은 아닌가보다.
(최근 프로그래밍의 중요한 이슈 중 하나는 Source Code recycling이다.)
매우 소심한 소비자라서 절대 책을 사지는 않고 단지 휙~하니 둘러보기만 할 뿐이다.
처음에는 책도 안 사면서 들어간다는 것 자체가 어색했는 데.
요즘은 점점 익숙해지고 있다. 나보다 더 철면피들은 바닥에 앉아서 책 한권 다 보는 데.
그깟 책 제목 몇 개 구경하는 게 뭐 대수겠나
모든 코너를 휘젓고 다니면서 산책을 한다.
주마간산식이라서 책 제목도 별로 들어오지도 않는 다.
그래도 가장 오래 머무르는 곳은 역시 영어 원서 코너.
내 영어가 얼마나 되는 지 보려고 가기도 하는 데.
이런 생각이 들었다.
"저 제목들이 한글 제목만큼 쉽게 눈에 들어올 때 쯤이면 많이 실력이 늘었다고 할 수 있겠군."
지금은 아주 자세히 보기 전에는 한글자도 안들어 온다.
가끔 가서 책장 왼쪽 위에 있는 책부터 오른쪽 아래에 있는 책까지 제목을 읽어주면서 training해야겠다.
음악/예술 부문 책장 앞에서는 이런 생각을 했다.
서양음악사에 관한 곳이 눈에 들어왔는 데
역시 작곡가의 위대함은 그 사람의 제목이 붙은 책의 두께가 말해주는 것 같았다.
한 질의 서양음악사 set에서 모차르트는 무려 3권을 차지했고 그 다음은 Bach
그리고 나머지들..
약간 덜 위대한(?) 러시아 음악가들은 모두 뭉쳐서 "러시아 음악가들"로 그냥 한 권.
물론 러시아 음악가들 중에서도 유명한 사람들은 한 권씩..
E-book이라면 쉽게 느낄 수 없는 것들을 많이 느낄 수 있다.
e-book은 책의 두께가 visual하고 volume감 있게 느껴지지 않으니까 말이다.
다시 영어 원서 코너로 돌아가서
책 제목들을 유심히 바라보던 중 정말 웃기는 속편들을 발견했다.
"내(My) 영혼을 위한 닭고기 수프"의 속편들인데.
"어머니의(Mother's) 영혼을 위한 닭고기 수프",
"10대의(Teen's) 영혼을 위한 닭고기 수프",
"꼬마들의(Preteen's) 영혼을 위한 닭고기 수프",
역시 잘 판린 책이라 속편들이 참 많이도 나왔다.
출판업계의 상술을 그대로 엿볼 수 있다.
약간 세분화하고 전문화해서 또 팔아먹겠다는 생각이다.
Writing의 재활용은 프로그래머만의 몫은 아닌가보다.
(최근 프로그래밍의 중요한 이슈 중 하나는 Source Code recycling이다.)
엉킨 실타래
내 자신의 인생이 엉킨 실타래 같다는 생각이 든다.
하지만 엉킨 실타래라고 가위로 마구 잘라버릴 수도 없고
축구공처럼 발로 차버릴 수도 없다.
한가닥의 실(thread)를 찾아서 그것부터 천천히 풀다보면
어느새 잘 정돈된 묶음이 되겠지.
모두들 자신들만의 가닥(thread)을 하나씩 잡아가고 있다는 생각이 든다.
어떤 친구는 군대부터 풀고
어떤 친구는 유학을 준비하고
어떤 친구는 의대 편입 시험을 보고
고시 공부를 하고.
아무튼 실가닥은 절대로 여러개를 잡고 동시에 풀려고 해서는 안된다.
뭐든 끝에 있는 (terminated) 단 한 가닥을 잡고 풀어가야 한다.
비가 오든 눈이 오든 아침에 일어나서 수영을 하고
아침마다 GMP 1시간씩 듣고
회사에서는 무조건 영어로 된 기술문서(techical suit, document..)만 보다보면
언젠가는 다 풀릴거라고 생각한다.
남들이 어떻게 푸는 지 그건 그 사람의 실타래이고 내 실타래는 내 방식으로 내 pace로 풀어야지.
하지만 엉킨 실타래라고 가위로 마구 잘라버릴 수도 없고
축구공처럼 발로 차버릴 수도 없다.
한가닥의 실(thread)를 찾아서 그것부터 천천히 풀다보면
어느새 잘 정돈된 묶음이 되겠지.
모두들 자신들만의 가닥(thread)을 하나씩 잡아가고 있다는 생각이 든다.
어떤 친구는 군대부터 풀고
어떤 친구는 유학을 준비하고
어떤 친구는 의대 편입 시험을 보고
고시 공부를 하고.
아무튼 실가닥은 절대로 여러개를 잡고 동시에 풀려고 해서는 안된다.
뭐든 끝에 있는 (terminated) 단 한 가닥을 잡고 풀어가야 한다.
비가 오든 눈이 오든 아침에 일어나서 수영을 하고
아침마다 GMP 1시간씩 듣고
회사에서는 무조건 영어로 된 기술문서(techical suit, document..)만 보다보면
언젠가는 다 풀릴거라고 생각한다.
남들이 어떻게 푸는 지 그건 그 사람의 실타래이고 내 실타래는 내 방식으로 내 pace로 풀어야지.
고추 잡채(피망 불고기)
오늘은 중국집에서 고추 잡채를 먹었다.
잡채니까 당연히 당면이 들어갈 줄 알았는 데 없었다.
그냥 고기 조금 하고 피망이랑 양파를 채 썰어둔 걸 버무려 기름에 튀긴 것 같다.
중국 빵을 조금 뜯어서 고추 잡채랑 먹으면 된다.
아주 달콤하고 맛있었다.
채니까 잘 씹지 않아도 맛을 충분히 느낄 수 있어서 좋았다.
(나같이 오래 씹는 걸 싫어하는 사람에게 좋은 요리네.)
잡채니까 당연히 당면이 들어갈 줄 알았는 데 없었다.
그냥 고기 조금 하고 피망이랑 양파를 채 썰어둔 걸 버무려 기름에 튀긴 것 같다.
중국 빵을 조금 뜯어서 고추 잡채랑 먹으면 된다.
아주 달콤하고 맛있었다.
채니까 잘 씹지 않아도 맛을 충분히 느낄 수 있어서 좋았다.
(나같이 오래 씹는 걸 싫어하는 사람에게 좋은 요리네.)
[펌]수학이란 무엇인가?
수학이란 무엇인가? 길가는 사람들에게 이 질문을 던지면 그들에게서 '수학은 수에 대한 연구'라는 대답을 들을 것 이다. 이 대답은 실은 2500년 전에는 옳았지만 그 이후에는 정확하지 않은 수학에 대한 묘사이다. 실제로 수학이란 무엇인가?라는 질문에 대한 답은 역사가 흐르면서 수 차례 바뀌었다. 기원전 500년까지 - 이집트와 바빌로니아 수학의 시대-에 수학은 거의 산술만으로 구성되었다. 수학은 실용적인 기술을 다루었다.
기원 전 500년부터 AD300년 까지는 그리스 수학의 시대이다. 고대 그리스 학자들은 주 로 기하학에 관심을 두었다. 그들은 수를 길이의 척도로서 기하학적인 방식으로 고려했으며, 무리수를 발견하고부터 수에 대한 그들의 연구는 거의 정지하였다. 그리스인들에게 수학은 수와 형태에 대한 연구였다. 수학에 대한 그리스인들의 관심은 단지 실용적인 것이 아니었다. 그들은 수학을 심미적이고 종교적인 요소를 갖고 있는 지적탐구라고 생각했다. 탈레스는 수학에서 명확히 주장된 논설은 형식적 논법에 의해 논리적으로 증명될수 있어야한다는 생각을 도입했다. 그리스인의 이러한 접근방식은 유클리드의 원론(Element)의 출판으로 집대성되었다. 원론은 성경 다음으로 전 시대에 걸쳐 가장 널리 유포된 책이다. 뉴턴과 라이프니쯔가 미적분학을 발견한 17세기 중엽까지 수학의 본질에는 큰 변화가 없었다. 미적분학은 운동과 변화에 대한 연구이다. 운동과 변화를 다루는 기법의 도입과 함께 수학자들은 행성의 운행, 낙하하는 물체의 운동, 기계의 작동, 액체의 흐름, 유행병의 확산, 비행, 이율의 변동 등을 연구하게 되었다. 그후 수학은 수, 형태, 운동, 변화, 공간에 대한 연구가 되었다.
미분적분학과 관련된 초기 연구의 대부분은 물리학의 연구로 방향을 잡았다. 당시의 위대한 수학자중 많은 사람은 물리학자로도 간주된다. 그러나 18세기 중엽부터 수학자들은 미적분학이 인류에게 끼치는 거대한 영향력의 배후임을 이해하려고 시도함에 따라서 수학의 응용만이 아니라 수학 자체에 대한 관심이 증가하게 되었다. 19세기 말에 이르러 수, 형태, 운동, 변화, 공간 등과 이런 연구에 사용되는 수학적인 도구에 대한 연구가 되었다.
이에 따라 수학에도 매우 새로운 분야가 많이 생겨났다. 20세기 초기에 수학은 산술, 기하, 미적분학등과 같이 약12 가지의 서로 다른 분야로 구성되어있다고 간주할 수 있었으나 기하, 대수 등의 일부 분야는 여러 작은 분야로 분리되었고 복잡성이론 또는 동력학계 이론 등의 분야는 완전히 새로운 연구분야이다. 수학의 이런 엄청난 성장 때문에 우리의 질문에 대한 간단한 해답을 찾는 것이 어리석은 시도일 수도 있다. 어떤 특별한 연구는 연구의 대상이 아니라 연구방법, 즉 사용된 방법론 때문에 수학으로 분류된다. 현재 대부분의 수학자가 동의하는 수학은 양식의 과학(Science of patterns)이라는 수학에 대한 정의가 출현한 것은 20년 남짓되었다.
수학자가 연구하는 것은 추상적인 양식(pattern)이다. 즉 수치적 양식, 형태의 양식, 운동 의 양식, 행동의 양식이고 이들은 정적이거나 동적일수 있고, 질적이거나 양적일 수 있으며 시각적이거나 정신적일 수 있다. 이들은 주위의 세계로부터 나타날 수도, 시공간(Space-Time)의 깊은 곳으로부터, 혹은 인간 정신의 내부작용으로 부터 나타날 수도 있다. 무관심한 관찰자에게도 분명한 현대 수학의 이면은 대수적 표현, 복잡해 보이는 공식, 기하적 도식과 같은 추상적 개념의 사용등이다. 이 중에서 추상적인 개념에 대한 수학자의 의존은 그가 연구하고 있는 양식들의 추상적인 본질을 반영한다. 실재의 다른 면들은 서로 다른 형태의 묘사를 요구한다. 예를 들어 우리는 낯선 도시에 온 이방인에게 길을 알려주기 위하여 지도를 그린다. 음악의 표기법은 아마도 악보를 연주하는 것과는 달리 음악을 전달하는 가장 적절한 매개체일 것이다.
여러 종류의 추상적이고 '형식적인' 양식, 추상적인 구조의 경우에는 묘사 또는 분석을 위한 적절한 수단이 수학적 개념, 과정, 표기등을 사용하는 것이다. 예를 들면, 대수학의 기호 표기법은 덧셈과 곱셈의 일반적인 행동 특성을 묘사하고 분석하는 가장 적절한 수단이다. 예로, 덧셈에 관한 교환법칙을 다음과 같이 표현할수 있다. 두 수를 더할 때, 그들의 순서는 중요하지 않다. 우리는 통상 다음과 같은 기호로 나타낸다. m+n=n+m
수학의 복잡도와 추상화 정도에 따라 추상적 표기의 사용이 계속 증가하게 되었다.그러나 수학책이 기호로 가득 차더라도 수학적 표기가 수학은 아니다. 이는 악보와 음악과의 관계와도 같다. 음악자체는 악기에 의해 연주될 때 얻어진다. 즉 음악은 인쇄된 종이위에 존재하는 것이 아니라 우리의 마음속에 존재한다. 수학도 마찬가지다. 종이위의 기호는 단지 수학의 표현에 불과하다. 수학은 읽혀질 때 독자의 마음 속에서 살아 숨쉰다.
수학과 음악은 모두 매우 추상적인 표기법을 갖고 있고 고유한 구조적인 규칙들에 의해 지배된다는 유사성 때문에 많은 수학자들이 어느 정도의 음악적 재능을 갖고 있음은 놀란운 사실이 아니다. 물론 차이점이 존재한다. 음악의 경우 그것을 경험하고 즐기는데 고도의 음악적 훈련은 요구되지 않는다 (대중성). 그러나 수학의 역사를 통해, 수학을 음미하는 방법은 기호를 '눈으로 읽는' 방법을 통해서였다. 비록 수학의 구조나 양식은 모든 면에서 음악의 구조 및 양식과 마찬가지로 인간 마음의 구조를 반영하고 인간의 마음을 반영하지만, 인류는 귀로 음미할 수 있는 수학을 발전시키지 못했다.
그러나 이제 컴퓨터와 비디오 기술의 발달이 수학교육을 받지 못한 사람도 어느 정도 수학에 접근할 수 있게 만들었다. 사용자의 조작을 통해 시행시키는데 컴퓨터를 사용하고, 그 결과를 시각적인 형태로 화면에 나타낼 수 있다. 비록 작은 부분이나 수학자가 수학을 연구할 때 경험하는 아름답고 조화로운 점을 일반인에게 전달할수 있게 되었다.
대수적 기호가 없었다면 수학의 많은 부분은 존재하지도 않았을 것이다. 사실, 이것은 인간의 인지능력과 관계있는 심오한 문제이다. 추상적인 개념의 인식과 적절한 언어의 발달은 동전의 양면과 같다. 추상적인 존재를 표현하기 위한 문자, 언어, 그림등과 같은 기호의 사용은 하나의 실재로서 그 존재의 인식과 밀접한 관계를 맺고 있다. 기호의 존재는 그 개념에 대해 생각하고 조작할 수 있도록 만들어 준다. 수학의 이러한 언어학적 측면은 수학의 알고리즘익 계산적인 측면 때문에 현대 사회에서는 종종 간과된다. 수학에서의 추상화 수준과 이러한 추상화에 대처할수 있는 표기법에 대한 필연적인 요구는 수학의 많은 부분이 어쩌면 대부분의 일반인에게 영원한 숨겨진 채로 남을 것임을 뜻한다.
양식의 과학으로서의 수학은 우리가 살고 있는 물리적이고 생물학적이며 사회적인 세계와 우리의 마음과 생각의 내적 세계 모두를 관찰하는 방법이다. 수학의 가장 위대한 성공은 의심할 바 없이 물립적인 영역이었다. 이 곳에서 수학은 과학의 여왕이며 시녀라고 언급되고 있다. 그러나 완전히 인간의 창조물로서 수학의 연구는 궁극적으로 인간자체에 대한 연구이다. 왜냐하면 수학의 토대를 형성하는 실재 중 어떠한 것도 물리적인 세계에 존재하지않기 때문이다. 수, 점, 선, 평면, 곡면, 기하학적 도형, 함수 등은 인간의 총체적인 정신에 존재한는 순수하게 추상적인 실재이다. 하늘에 대한 연구가(천문학) 과학적 사고를 지배했던 시대에, 갈릴레오는 "자연의 위대한 책은 거기에 씌어진 언어를 알고 있는 사람만이 읽을 수 있다. 그 언어는 바로 수학이다."라고 했다. 훨씬 뒷 세대에 놀랍도록 유사한 지적이 나타났다. 1986년 케임브리지의 물리학자 폴킹혼은 "수학은 물리적인 우주의 자물쇠를 여는 추상적인 열쇠이다."라고 썼다. 정보와 통신 및 계산에 의해 지배되는 오늘날, 수학은 열어야 할 새로운 자물쇠를 찾고 있다. 추상적 양식의 과학으로서 수학의 영향을 크건 작건 받지 않는 우리 삶의 일부는 존재하지 않는다. 왜냐하면 추상적인 양식은 바로 사고, 통신, 계산, 사회, 삶 자체의 본질이기 때문이다.
기원 전 500년부터 AD300년 까지는 그리스 수학의 시대이다. 고대 그리스 학자들은 주 로 기하학에 관심을 두었다. 그들은 수를 길이의 척도로서 기하학적인 방식으로 고려했으며, 무리수를 발견하고부터 수에 대한 그들의 연구는 거의 정지하였다. 그리스인들에게 수학은 수와 형태에 대한 연구였다. 수학에 대한 그리스인들의 관심은 단지 실용적인 것이 아니었다. 그들은 수학을 심미적이고 종교적인 요소를 갖고 있는 지적탐구라고 생각했다. 탈레스는 수학에서 명확히 주장된 논설은 형식적 논법에 의해 논리적으로 증명될수 있어야한다는 생각을 도입했다. 그리스인의 이러한 접근방식은 유클리드의 원론(Element)의 출판으로 집대성되었다. 원론은 성경 다음으로 전 시대에 걸쳐 가장 널리 유포된 책이다. 뉴턴과 라이프니쯔가 미적분학을 발견한 17세기 중엽까지 수학의 본질에는 큰 변화가 없었다. 미적분학은 운동과 변화에 대한 연구이다. 운동과 변화를 다루는 기법의 도입과 함께 수학자들은 행성의 운행, 낙하하는 물체의 운동, 기계의 작동, 액체의 흐름, 유행병의 확산, 비행, 이율의 변동 등을 연구하게 되었다. 그후 수학은 수, 형태, 운동, 변화, 공간에 대한 연구가 되었다.
미분적분학과 관련된 초기 연구의 대부분은 물리학의 연구로 방향을 잡았다. 당시의 위대한 수학자중 많은 사람은 물리학자로도 간주된다. 그러나 18세기 중엽부터 수학자들은 미적분학이 인류에게 끼치는 거대한 영향력의 배후임을 이해하려고 시도함에 따라서 수학의 응용만이 아니라 수학 자체에 대한 관심이 증가하게 되었다. 19세기 말에 이르러 수, 형태, 운동, 변화, 공간 등과 이런 연구에 사용되는 수학적인 도구에 대한 연구가 되었다.
이에 따라 수학에도 매우 새로운 분야가 많이 생겨났다. 20세기 초기에 수학은 산술, 기하, 미적분학등과 같이 약12 가지의 서로 다른 분야로 구성되어있다고 간주할 수 있었으나 기하, 대수 등의 일부 분야는 여러 작은 분야로 분리되었고 복잡성이론 또는 동력학계 이론 등의 분야는 완전히 새로운 연구분야이다. 수학의 이런 엄청난 성장 때문에 우리의 질문에 대한 간단한 해답을 찾는 것이 어리석은 시도일 수도 있다. 어떤 특별한 연구는 연구의 대상이 아니라 연구방법, 즉 사용된 방법론 때문에 수학으로 분류된다. 현재 대부분의 수학자가 동의하는 수학은 양식의 과학(Science of patterns)이라는 수학에 대한 정의가 출현한 것은 20년 남짓되었다.
수학자가 연구하는 것은 추상적인 양식(pattern)이다. 즉 수치적 양식, 형태의 양식, 운동 의 양식, 행동의 양식이고 이들은 정적이거나 동적일수 있고, 질적이거나 양적일 수 있으며 시각적이거나 정신적일 수 있다. 이들은 주위의 세계로부터 나타날 수도, 시공간(Space-Time)의 깊은 곳으로부터, 혹은 인간 정신의 내부작용으로 부터 나타날 수도 있다. 무관심한 관찰자에게도 분명한 현대 수학의 이면은 대수적 표현, 복잡해 보이는 공식, 기하적 도식과 같은 추상적 개념의 사용등이다. 이 중에서 추상적인 개념에 대한 수학자의 의존은 그가 연구하고 있는 양식들의 추상적인 본질을 반영한다. 실재의 다른 면들은 서로 다른 형태의 묘사를 요구한다. 예를 들어 우리는 낯선 도시에 온 이방인에게 길을 알려주기 위하여 지도를 그린다. 음악의 표기법은 아마도 악보를 연주하는 것과는 달리 음악을 전달하는 가장 적절한 매개체일 것이다.
여러 종류의 추상적이고 '형식적인' 양식, 추상적인 구조의 경우에는 묘사 또는 분석을 위한 적절한 수단이 수학적 개념, 과정, 표기등을 사용하는 것이다. 예를 들면, 대수학의 기호 표기법은 덧셈과 곱셈의 일반적인 행동 특성을 묘사하고 분석하는 가장 적절한 수단이다. 예로, 덧셈에 관한 교환법칙을 다음과 같이 표현할수 있다. 두 수를 더할 때, 그들의 순서는 중요하지 않다. 우리는 통상 다음과 같은 기호로 나타낸다. m+n=n+m
수학의 복잡도와 추상화 정도에 따라 추상적 표기의 사용이 계속 증가하게 되었다.그러나 수학책이 기호로 가득 차더라도 수학적 표기가 수학은 아니다. 이는 악보와 음악과의 관계와도 같다. 음악자체는 악기에 의해 연주될 때 얻어진다. 즉 음악은 인쇄된 종이위에 존재하는 것이 아니라 우리의 마음속에 존재한다. 수학도 마찬가지다. 종이위의 기호는 단지 수학의 표현에 불과하다. 수학은 읽혀질 때 독자의 마음 속에서 살아 숨쉰다.
수학과 음악은 모두 매우 추상적인 표기법을 갖고 있고 고유한 구조적인 규칙들에 의해 지배된다는 유사성 때문에 많은 수학자들이 어느 정도의 음악적 재능을 갖고 있음은 놀란운 사실이 아니다. 물론 차이점이 존재한다. 음악의 경우 그것을 경험하고 즐기는데 고도의 음악적 훈련은 요구되지 않는다 (대중성). 그러나 수학의 역사를 통해, 수학을 음미하는 방법은 기호를 '눈으로 읽는' 방법을 통해서였다. 비록 수학의 구조나 양식은 모든 면에서 음악의 구조 및 양식과 마찬가지로 인간 마음의 구조를 반영하고 인간의 마음을 반영하지만, 인류는 귀로 음미할 수 있는 수학을 발전시키지 못했다.
그러나 이제 컴퓨터와 비디오 기술의 발달이 수학교육을 받지 못한 사람도 어느 정도 수학에 접근할 수 있게 만들었다. 사용자의 조작을 통해 시행시키는데 컴퓨터를 사용하고, 그 결과를 시각적인 형태로 화면에 나타낼 수 있다. 비록 작은 부분이나 수학자가 수학을 연구할 때 경험하는 아름답고 조화로운 점을 일반인에게 전달할수 있게 되었다.
대수적 기호가 없었다면 수학의 많은 부분은 존재하지도 않았을 것이다. 사실, 이것은 인간의 인지능력과 관계있는 심오한 문제이다. 추상적인 개념의 인식과 적절한 언어의 발달은 동전의 양면과 같다. 추상적인 존재를 표현하기 위한 문자, 언어, 그림등과 같은 기호의 사용은 하나의 실재로서 그 존재의 인식과 밀접한 관계를 맺고 있다. 기호의 존재는 그 개념에 대해 생각하고 조작할 수 있도록 만들어 준다. 수학의 이러한 언어학적 측면은 수학의 알고리즘익 계산적인 측면 때문에 현대 사회에서는 종종 간과된다. 수학에서의 추상화 수준과 이러한 추상화에 대처할수 있는 표기법에 대한 필연적인 요구는 수학의 많은 부분이 어쩌면 대부분의 일반인에게 영원한 숨겨진 채로 남을 것임을 뜻한다.
양식의 과학으로서의 수학은 우리가 살고 있는 물리적이고 생물학적이며 사회적인 세계와 우리의 마음과 생각의 내적 세계 모두를 관찰하는 방법이다. 수학의 가장 위대한 성공은 의심할 바 없이 물립적인 영역이었다. 이 곳에서 수학은 과학의 여왕이며 시녀라고 언급되고 있다. 그러나 완전히 인간의 창조물로서 수학의 연구는 궁극적으로 인간자체에 대한 연구이다. 왜냐하면 수학의 토대를 형성하는 실재 중 어떠한 것도 물리적인 세계에 존재하지않기 때문이다. 수, 점, 선, 평면, 곡면, 기하학적 도형, 함수 등은 인간의 총체적인 정신에 존재한는 순수하게 추상적인 실재이다. 하늘에 대한 연구가(천문학) 과학적 사고를 지배했던 시대에, 갈릴레오는 "자연의 위대한 책은 거기에 씌어진 언어를 알고 있는 사람만이 읽을 수 있다. 그 언어는 바로 수학이다."라고 했다. 훨씬 뒷 세대에 놀랍도록 유사한 지적이 나타났다. 1986년 케임브리지의 물리학자 폴킹혼은 "수학은 물리적인 우주의 자물쇠를 여는 추상적인 열쇠이다."라고 썼다. 정보와 통신 및 계산에 의해 지배되는 오늘날, 수학은 열어야 할 새로운 자물쇠를 찾고 있다. 추상적 양식의 과학으로서 수학의 영향을 크건 작건 받지 않는 우리 삶의 일부는 존재하지 않는다. 왜냐하면 추상적인 양식은 바로 사고, 통신, 계산, 사회, 삶 자체의 본질이기 때문이다.
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